Kodėl matematika Lietuvoje nelaikoma dvasinės kultūros dalimi

ŽURNALAS: KULTŪROS BARAI
TEMA: Matematika
AUTORIUS: Rimas Norvaiša
DATA: 2014-05

Mūsų visuomenė matematiką žino tik kaip mokslo kalbą, neturinčią savarankiško turinio. Priešingai šiai nuomonei, šiuolaikinė matematika yra abstrakcijų pasaulio pažinimas, paremtas loginių samprotavimų tikslumu ir grožio pojūčiu. Pretekstą pasiaiškinti, ką tai reiškia, suteikė pernai gruodžio 18 d. Lietuvos mokslų akademijoje vykusi konferencija „Menų ir tiksliųjų mokslų sanglaudos būklė ir perspektyvos Lietuvoje“.

Menų ir tiksliųjų mokslų sanglaudos panoramoje, kurią nupiešė literatūrologė Viktorija Daujotytė, matematikos nėra.1 Tai ne priekaištas autorei ar jos analizės kritika. Juk nekaltiname veidrodžio dėl to, ko jame nematome. Tarp menų ir tiksliųjų mokslų esančią perskyrą autorė vaizdžiai pavadino gyvenimo upe. Kūryba ir mokslai atsidūrė priešinguose šios upės krantuose. Daujotytė rašo: „Sanglauda tarp meno ir mokslo gal ir gali būti pageidaujama, kaip nuolat dabar pageidaujame santarvės, dialogo, kitų gerų dalykų, bet iš esmės kūryba ir mokslai su ištikimosiomis jų palydovėmis (gal tiksliau būtų sakyti – įkvėpėjomis, inspiratorėmis) technologijomis yra priešingose [gyvenimo] upės pusėse.“2

Galima sutikti su teiginiu, kad Lietuvos mokslo politika perdėtai sureikšmino technologijas, paversdama jas dalies mokslo įkvėpėjomis ir inspiratorėmis. Tačiau pritarti tam sunku. Mokslui ir matematikai tai reiškia tą patį, ką tapybai reikštų jos įkvėpėju ar inspiratoriumi laikyti tvorų dažymą. Mūsų šalies realybė tokia, kad matematika, pasaulio dvasinėje kultūroje siejanti menus su mokslais (science), guli gyvenimo upės dugne.3

Ši žinia nėra nei nauja, nei netikėta. Apie panašią perskyrą tarp humanitarikos ir gamtos mokslų kalbėta daugybę kartų.4 Kokie stereotipai matematikos atžvilgiu paplitę visuomenėje, irgi rašyta.5 Bet vis dar nematyti jokių požymių, kad padėtis galėtų keistis, bent jau artimiausioje ateityje. Dėl to pralaimime visi. Jaunoji karta auga aplinkoje, kuri atskleidžia ne visas šiuolaikinio pasaulio dvasinės kultūros puses. Norime ugdyti kūrybiškumą ir kritinį mąstymą, bet ignoruojame efektyviausią tokio ugdymo priemonę – matematiką. Tai, ko per matematikos pamokas mokoma mūsų mokyklose, sukelia tik antipatiją matematikai arba jos baimę.

Matematikos kūrybiškumas pasireiškia tuo, kad ji bando aptikti giluminius ryšius tarp abstrakčių idėjų, pasitelkdama esmines ir bendras žmogaus aplinką apibūdinančias kategorijas: diskretumą ir tolydumą, baigtinumą ir begalybę, judėjimą ir erdvę… Šiuolaikinė matematika įžvelgia įvairiausius šių kategorijų niuansus, nagrinėdama juos vis naujesniais metodais. Tuo pagrindu galima kurti naujas gamtos ir visuomenės mokslų teorijas. Tai tęsis tol, kol bus išsilavinusių žmonių. Netgi dar daugiau – žinių apie pagrindinius matematikos pasiekimus visuma yra visuomenės išsilavinimo rodiklis.

Pas mus matematika laikoma tik pasaulio pažinimo instrumentu. Be abejo, ji padeda pažinti pasaulį. Abstrakčios matematinės sąvokos išreiškia tai, kas tinkamiausiai, kaip spėjame, apibūdina realybę. Tačiau tas motyvuojama labai įvairiai. Pirmosios aritmetikos ir geometrijos žinios atsirado ankstyvosioms civilizacijoms stengiantis išgyventi. Dvasinės kultūros dalimi matematiką ėmė laikyti senovės graikai. Vėliau jos vaidmuo ir matematinės veiklos motyvai nuolatos kito. Naujaisiais laikais matematika tapo gamtos mokslo, bandžiusio atsiskirti nuo filosofijos, kalba. Begalybės sąvoka, kurią kaip išmanydami stengėsi apeiti graikų matematikai, XVII a. Vakarų kultūroje tapo pagrindine ir neišvengiama priemone judėjimui apibūdinti. XIX a. ši veikla atvedė prie to, kad matematikai teko atsisakyti pretenzijų į pasaulio pažinimą ir aiškintis savo pačios pagrindus. Rezultatas – šiuolaikinė matematika su savais problemų sprendimo metodais, tobulintais tūkstančius metų. Galiausiai matematika pasiūlė, kaip pažinti abstrakcijų pasaulį.

Laikydami matematiką tik realaus pasaulio pažinimo priemone, ignoruojame tai, kas šiuolaikinei matematikai yra esmingiausia, – pastangas pažinti abstraktų pasaulį, remiantis loginiu samprotavimų pagrįstumu ir grožio jausmu. Daugelis matematikų tiesos paieškas grindžia būtent individualiu grožio supratimu, o ne realaus pasaulio atitikmenimis. Šią nuostatą gerai išreiškia vokiečių matematiko ir fiziko Hermanno Weylio (1885–1955) žodžiai: „Savo veikloje visada siekiau tiesą sieti su grožiu, tačiau tais atvejais, kai tekdavo rinktis vieną iš dviejų, paprastai rinkdavausi grožį.“6 Galima tik pridurti, kad matematinė kūryba, siekdama grožio, paprastai atveda į naują tiesą.

Nors ir esame pragmatikai, neturėtume ignoruoti vertybinių matematikos bruožų. Matematinė veikla ugdo poreikį ieškoti objektyvios tiesos, pasikliaujant proto argumentais. Matematikai tiesa išskirtinai svarbi. Klaidingi teiginiai yra informacija, rodanti, kur neverta ieškoti tiesos. Matematinė tiesa remiasi tik logiškai pagrįstu samprotavimu, kurį matematikai vadina įrodymu. Matematika – vienintelė žinių sritis, savo teiginius grindžianti įrodymais. Tas, kuris savo tiesą ramsto autoritetu, tarp matematikų apsijuoks.

Prieš svarstant, ar matematika laikytina Lietuvos dvasinės kultūros dalimi, reikėtų aptarti, kas yra matematika ir kuo ypatinga lietuvių dvasinė kultūra. Svarbų kultūros bruožą taikliai apibūdino filosofas Arūnas Sverdiolas, taikydamas korio metaforą:

Korinė kultūros erdvės sąranga lemia, kad nėra viešosios, atviros diskusinės erdvės, kurioje susidurtų skirtingi požiūriai, būtų išklausomi kontrargumentai ir į juos atsakoma kitiems ir sau, šitaip stumiant svarstomus dalykus pirmyn. Tarpusavyje paprastai nebendraujama ir nebendradarbiaujama ne dėl pažiūrų nesuderinamumo, bet iš abejingumo ar netgi nežinojimo apie vieni kitų egzistavimą. Korinėje erdvėje prasta akustika, nėra rezonanso, todėl joks balsas čia nesusilaukia atsako. […] Todėl kiekvieną darbą tenka pradėti iš pat pradžių, nuo pradmenų aptarimo ir teksto elementaraus paskaitomumo užtikrinimo. Tenka būti arba švietėju, didaktu, arba savo geismingoje giesmėje užsimiršusiu kurtiniu, o tiksliau sakant, ir vienu, ir kitu.“7

Tokia kultūrinė aplinka verčia paaukoti šiek tiek laiko, kad susipažintume su pagrindiniais matematikos, kaip dvasinės kultūros reiškinio, bruožais.

Kas yra matematika?

Matematika yra tai, ko šiuolaikinė mokykla paprastai nemoko. Matematika yra apie tai, kas slypi už realaus pasaulio ribų. Tiksliau tariant, matematika yra mūsų žinios apie tam tikras abstrakčias sąvokas (paprasčiausios iš jų yra aibė, skaičius, funkcija, erdvė, begalybė, tolydumas, diskretumas ir t. t.) ir loginius jų ryšius. Tyrinėti sąvokas matematikai būdinga nuo Antikos laikų. Šiandien šis bruožas tapo dominuojantis. Bėgant šimtmečiams, šių sąvokų turinys nuolatos kito. Dabartinis jų supratimas ir vartojimas matematikoje labai skiriasi nuo įprastinės vartosenos kasdieniniame gyvenime ir bendrinėje kalboje.

Nuo kitų abstrakčių sąvokų matematinė sąvoka skiriasi tuo, kad yra tiksli ir vienareikšmiška, ji apibūdina objektus, kurie turi lygiai tiek savybių, kiek jų išvardyta sąvokos turinyje. Kuo idėja ar objektas abstraktesnis, tuo sunkiau išsaugoti sąvokos tikslumą. Matematikos idėjų evoliucija lėmė, kad sąvokų tikslumo standartai nuolatos kito.

Matematikos pasaulis – tai gausybės konkrečių aksiomų ir faktų dėlionė. Šio abstrakcijų pasaulio tikrumas grindžiamas tik matematiniu įrodymu. Faktas yra teisingas arba klaidingas, priklausomai nuo to, ar jis įrodomas, ar ne. Tokia veikla skiriasi nuo realaus pasaulio pažinimo, nes ten faktų teisingumas patvirtinamas arba ne, remiantis eksperimentu. Nepaisant to, matematikos sąvokos yra tarsi realaus (fizinio) pasaulio pažinimo akiniai. Pacituosiu keletą įžvalgų apie matematiką, manau, jos padės geriau atskleisti šio nepaprastai turtingo pasaulio kontūrus.

1925 m. anglų matematikas Alfredas N. Whiteheadas, matematikos apžvalgą rašydamas mąstymo istorijos kontekste, pradėjo ją taip: „Galima teigti, kad šiuolaikinė grynoji matematika yra originaliausias žmogaus dvasios kūrinys. Kitas pretendentas į šį apibūdinimą – muzika. […] Matematikos originalumą rodo faktas, kad jos atskleidžiami ryšiai tarp objektų yra visiškai neakivaizdūs. Dabarties matematikų idėjos yra labai nutolusios nuo to, ką galima suvokti pojūčiais, išskyrus tuos atvejus, kai pojūčiai remiasi ankstesnėmis matematikos žiniomis.“8

Šiek tiek vėliau amerikiečių matematikas Raymondas L. Wilderis savo knygoje apie matematikos pagrindus rašė: „Daugelis matematikų, tarp kitko, laiko matematiką menu. [...] Mūsų nuomone, tapyboje, keramikoje, muzikoje ir kitose meno srityse taikomas formų abstrahavimas irgi tampa matematine veikla. Net šiais laikais joks [matematikos] apibrėžimas nėra pakankamai tikslus, kad atribotų tarpines sritis. Neįmanoma absoliučiai tiksliai nustatyti, kur baigiasi matematika ir prasideda menas ar fizika, ar…“9

Rusų matematikas ir lingvistas Vladimiras Uspenskis teigia, kad matematika yra humanitarinis mokslas,10 ir pagrindžia šį teiginį savo knygoje,11 už kurią 2010 m. buvo apdovanotas Rusijos mokslo populiarinimo literatūros premija. Mūsų visuomenė matematikos priskyrimą humanitarikai laikytų oksimoronu, nes humanitariką ji supranta kaip žinias apie žmogų ir kultūrą. Tačiau gal mūsų žinios apie matematiką yra netikslios?

Visiškai kitoks požiūris į matematiką išdėstytas labai populiarioje JAV fiziko Maxo Tegmarko knygoje: pasaulis ne tik aprašomas matematika, bet ir pati visata yra matematinė struktūra.12 Tai radikali matematinio platonizmo forma. Šiaip jau platonistai matematikos objektų atžvilgiu yra matematikai.

Nesama bendros nuomonės, kas sudaro matematikos esmę. Tačiau ji, kaip ir daugelis kultūros reiškinių, turi aibę bruožų, kuriuos ignoruodami nuskurdiname savo pasaulėvoką.

Matematika kaip kultūros reiškinys

 

Atrodytų, matematika yra rinkinys faktų, nepriklausančių nuo laiko ir vietos. Du plius du visur ir visada bus keturi. Pitagoro teorema visur ir visada suprantama vienodai. Manoma, kad matematikos rezultatams neturi įtakos nei tautinė priklausomybė, nei istorinė visuomenės patirtis. Todėl matematiką sieti su kultūra, atrodytų, keista – paprastai kultūros sričiai priskiriamas menas, religija, filosofija, mokslas (science). Supriešinti kultūrą su matematika nėra svetima ir matematikams.

Požiūris į matematiką kaip į kultūriškai sterilų reiškinį yra pernelyg paviršutiniškas.13 Tam prieštarauja faktas, kad skirtingos matematikos mokyklos plėtoja skirtingas matematikos sritis. Pavyzdžiui, XX a. pradžioje Italijoje dominavo geometrija, Prancūzijoje – funkcijų teorija, Vokietijoje – matematikos pagrindai ir panašiai. Pasaulyje matematika laikoma dvasinės kultūros dalimi, siejančia meną su mokslu. Tai vienas iš faktų, kuriems suprasti reikia ir platesnio, ir gilesnio požiūrio. Apie matematiką kaip dvasinės kultūros reiškinį rašė Oswaldas Spengleris14 (1880–1936), Leslie’s A. White’as15 (1900–1975), Raymondas L. Wilderis16 (1896–1982) ir kiti.

Adekvatus požiūris į matematiką įsigalėjęs Lenkijoje. Po Pirmojo pasaulinio karo, kai šalis priešinosi germanizacijai ir rusifikacijai, siekė tarptautinio pripažinimo, matematikui Zygmantui Janiszewskiui (1888–1920) kilo mintis tuo tikslu pasitelkti matematikos autoritetą. 1918 m. jis iškėlė lenkų matematikams tikslą „tapti reikšmingiems ir nepriklausomiems“,17 pasiūlė originalią, bet rizikingą idėją įsteigti pirmąjį pasaulyje specializuotą matematikos žurnalą – 1920 m. išėjo pirmasis Fundamenta Mathematicae numeris. Janiszewskis tikėjo Lenkijos matematikų sėkme tuo metu dar naujose aibių teorijos ir funkcinės analizės srityse. Jo viltys atsirado ne tuščioje vietoje – savo veiklą aktyvino Lvovas, kūrėsi nauja Varšuvos matematikų mokykla.18 Abiejose sėkmingai susijungė filosofija, logika ir matematika,19 neabejotinai veikdamos viena kitą.

Janiszewskio lūkesčiai išsipildė – lenkų matematikai pelnė pripažinimą pasaulyje. Tai galėjo turėti įtakos ir politiniam šalies pripažinimui. Deja, per Antrąjį pasaulinį karą žuvo daugiau kaip pusė lenkų matematikų. Po šio smūgio ir po emigracijos bangos praeito amžiaus devintajame dešimtmetyje matematika Lenkijoje sunkiai atsigauna. Vis dėlto sėkmė tarpukariu yra puikus kultūrinio matematikos vaidmens pavyzdys, rodantis, kad nacionalinė kultūra, plėtojanti matematiką, pasaulyje matoma ryškiau negu kultūra, ignoruojanti šį savo sandą. Švedų matematikas Christeris Kiselmanas, aptardamas kultūrinę matematikos reikšmę, išskyrė keturias jos savybes – tai:

tarptautiškumas;

grožis;

įtaka žmonių pasaulėžiūrai;

įtaka mąstymui ir pasitikėjimas mąstymu.20

Grožis yra esminė matematikos savybė, pasireiškianti įvairiais aspektais. Matyt, labiausiai grožio vaidmuo atsiskleidžia per matematines paieškas. Jei gaunamas rezultatas nekelia jokių emocijų, greičiausiai pasirinktas klaidingas kelias. Jei prieš sąmonės akis atsiveria nuostabus pasaulis, o per nugarą nusirita jaudinantis virpulys, neabejotinai prisiliesta prie Tiesos. Panašius jausmus sukelia ir gamtos tyrimai – ten grožio jausmas irgi gali tapti kelrodžiu. Bet grynajai matematikai grožis dažnai tampa vieninteliu pasirinkimo kriterijumi, nes matematikos tiesa nieko nesako apie realaus pasaulio tiesą.

Daug matematikų pripažįsta grožio svarbą jų veiklai. Rečiau apie tai išgirstame iš tų, kurie su matematine veikla nėra tiesiogiai susiję. Nobelio premijos laureatas fizikas Paulas Diracas (1902–1984), aplinkinių laikytas keistuoliu, fizikos atradimus atliko, iš esmės siekdamas elegantiškos ir paprastos matematinės išraiškos.

Pasak jo, matematinių samprotavimų sėkmė fizikoje „gali būti paaiškinama tam tikromis matematinėmis Gamtos savybėmis, kurių neįžvelgia atsitiktinis stebėtojas, bet jos užima svarbią vietą Gamtos paveiksle.

Nepaisant to, kad reliatyvumo teorija nedera su paprastumo principu, ji vis dėlto priimtina fizikui dėl nuostabaus matematinio savo grožio. Tai nepaaiškinama savybė, panašiai kaip grožis nėra paaiškinamas mene, bet matematikams pripažinti matematikos grožį visai nesunku. Kartu su reliatyvumo teorija matematinis grožis nepaprastai giliai įsismelkė į Gamtos aprašymą.“21

Suvokti matematikos grožį gali ne tik matematikai, bet ir tie, kurie dar tik bando ją pažinti. Paprastai matematikos grožis atsiskleidžia, jei suvokiame įrodymo idėją. Gražios įrodymo idėjos pavyzdys – Euklido įrodymas, kad pirminių skaičių yra be galo daug. Kasdieninėje veikloje matematikai retai susiduria su naujomis gražiomis įrodymo idėjomis, nes daugumą faktų galima įrodyti jau žinomais metodais. Matematika, kaip ir kiekviena žmogaus veikla, neišskiriant nė profesionaliojo meno, susijusi tiek su kūryba, tiek su amatu.

Daugumai matematikos teorijų būdinga harmonija. Jei matematiką laikytume meno forma, tai būtų kolektyvinis menas. Whiteheadas teigė, kad matematika labiausiai panaši į muziką. Kritikas ir kompozitorius Edwardas Rothsteinas, turintis matematinį išsilavinimą, aiškina, kad ir matematika, ir muzika suteikia galimybę suvokti „pasaulį, kuris egzistuoja nepriklausomai nei nuo žmogaus pojūčių, nei nuo interpretacijų ir kuriame sklando esmės, būties, tiesos idėjos“.22

Dažnam skaitytojui šie samprotavimai gerokai prieštaraus mokyklinei susidūrimo su matematika patirčiai. Taip yra dėl mūsų švietimo sistemos tikslų ir pasirinkimo motyvacijos. Kažkodėl manoma, kad daug didesnę motyvaciją mokytis matematikos suteiks ne jos grožis, bet nauda kasdieninei veiklai. Tačiau taip mano ne visi. Nathalie Sinclair savo knygoje „Matematika ir grožis“23 dalijasi patirtimi, įgyta bandant matematinį ugdymą praturtinti tuo, kas skatina estetinį matematikos suvokimą.

Tiems, kurie vis tiek abejoja, ar įmanoma matematiką suderinti su grožiu, galbūt padės pakeisti nuomonę britų mokslininkų tyrimų rezultatai, paskelbti šiemet vasarį.24 Du neurobiologai, fizikas ir matematikas, pasitelkę funkcinį magnetinį rezonansą, bandė nustatyti, kaip į matematinį grožį reaguoja žmogaus galvos smegenys. Tyrimai buvo atliekami su 16 matematikų, kuriems parodyta 60 įvairiausių matematikos formulių, prašant kiekvieną iš jų įvertinti grožio aspektu: kuri graži, kuri šiaip sau, o kuri bjauri. Į formulių vaizdus reagavo ta pati smegenų vieta, kuri atsakinga už grožio pajautimą, – tai nustatyta per ankstesnius tyrimus, stebint klasikinius meno kūrinius. Tyrimas patvirtino, kad intuityvus matematikų vertinimas, vadinamas grožiu, sutampa su pojūčiais, kokius paprastai sukelia meno kūriniai.

Daugumai tiriamųjų gražiausia formulė buvo Eulerio tapatybė, laikoma matematikos grožio auksiniu standartu.

Matematika Lietuvoje

 

Jei ši apžvalga dar neįtikino, kad matematika nėra Lietuvos dvasinės kultūros dalis, tai vėl grįžkime prie diskusijos apie menų ir tiksliųjų mokslų sandūras. Pacituosiu dar šį tą iš literatūrologės Daujotytės teiginių:

Formulė – tai nekintama, nekeičiama taisyklė. Formulės lygmeniu juntame humanistikos ir gamtos mokslų sąlytį, jei ir ne sanglaudą. Matematikos formulė – kokio nors matematinio teiginio simbolinis užrašymas skaičiais, raidėmis ir ženklais. Chemijos formulė – kokio nors cheminio elemento ar junginio sudėties ir sandaros žymėjimas cheminiais simboliais. Nekintanti formulė. Gamtos, tikslieji mokslai remiasi nekintamais dydžiais, apibrėžtais objektais, bet kartu ir formomis. Kas yra vanduo? Juk tai gyvų gyviausia forma, kai jį matome, lytime, keliame prie lūpų ar į jį pasineriame. Biologas ar chemikas gali jausti tą vandens formos gyvumą, takumą, bet jo sąmonė ieško formulių, jomis remiasi ir pasitiki. […]

 Apibendrintai galima sakyti, kad kūryba, iš esmės ir humanistika, net susidurdama su formulėmis, siekia išlaikyti formos gyvybę, o tikslieji mokslai, technologijos atvirkščiai – kiekvieną, kad ir pačią gyviausią formą suvokia kaip potencialią formulę. Iš čia ir įtampa – esama ar galima – tarp formos ir formulės.“25

Požiūris, kad tiksliųjų mokslų, taigi ir matematikos, siekiamybė yra nekintama formulė, panašus į požiūrį, pagal kurį literatūros siekiamybė yra žodis arba muzikos siekiamybė yra natos. Formulė matematikoje, kaip ir žodis literatūroje, yra tik priemonė išreikšti idėjoms. Puiki priemonė, nes be jos, vartojant tik kasdieninę kalbą, tektų rašyti ištisus puslapius, kuriuose paskęstų esmė. Trumpa formule įmanoma išreikšti nuostabiai daug turinio. Kompaktiška išraiškos forma leidžia užčiuopti naują kokybę, panašiai kaip tapytojui paveikslas suteikia galimybę pasakyti daug daugiau už matomą vaizdą. Formulė matematikoje prasminga tiek, kiek yra suprantama tai, kas ja išreiškiama. Per anksčiau minėtą matematinio grožio tyrimą nustatyta, kad Eulerio tapatybė tiems, kurie jos nesupranta, nesukėlė jokių emocijų. Vis dėlto priemonė ir tikslas nėra tas pats.

Ar praeityje matematika turėjo vietą šalies dvasinėje kultūroje? Matematikas Jonas Kubilius (1921–2011), rašydamas apie matematikos atsiradimą Lietuvos mokslų akademijoje, teigė, kad originalių matematikos mokslo darbų nebūta, bent jau iki Vilniaus universiteto uždarymo 1832 m.: „tarpukario Lietuvoje mokslinio kūrybinio darbo iš matematikos tebuvo tik užuomazgos. […] Mokslinis darbas prasidėjo tik su nauja matematikų karta jau po Antrojo pasaulinio karo.“26 Bet mokslinis darbas, siejamas su matematikų bendruomene, yra požymis, kad egzistuoja matematikos subkultūra.

Matematikos ir kultūros giminystė daug kam Lietuvoje kelia nemažą nuostabą, net nepasitikėjimą. Labiau paplitęs tradicinis požiūris, kad matematika yra pasaulio pažinimo instrumentas ir formulių kalba, neturinti savarankiško turinio. Dažnai manoma, esą matematika – tai Antikos laikų žinios apie skaičius ir geometrines figūras. Tokio požiūrio į matematiką laikosi, pavyzdžiui, filosofija. Kas įvyko arba neįvyko Lietuvoje per pastaruosius dešimtmečius, kad matematika vis dar netapo dvasinės kultūros dalimi?

Remiuosi filosofo Arūno Sverdiolo sudėliotais dabartinės lietuvių kultūros bendraisiais bruožais.27 Jo teigimu, susiklosčiusią kultūrinę situaciją apibūdina rėčio metafora, reiškianti, kad tarp Lietuvos ir pasaulio yra tam tikras filtras. Nors ir tapome politiškai laisvi, bet vis dar stiprų poveikį daro uždara kultūrinė iš sovietmečio paveldėta aplinka, kurią filosofas apibūdino kolbos įvaizdžiu. Rėčio efektas aiškiausiai pasireiškia, vertinant kitų kalbų žinojimą ir vartojimą – rusų kalba darosi vis mažiau suprantama, o anglų kalba vis dar yra nepakankamai suprantama. Verstinė literatūra niekaip negali užpildyti atsivėrusios kultūrinės tuštumos.

Matematika stokoja literatūros kur kas labiau negu humanitarika. Pastaraisiais dešimtmečiais be kelių bendro pobūdžio su matematika susijusių verstinių veikalų (vienas iš tokių – Georgo Ifraho „Universalioji skaičių istorija. Kaip skaičiai ir skaičiavimas atskleidžia žmogaus išradingumą“), išleista tik šiek tiek vadovėlių ir kitos mokomosios medžiagos. Rėtis lemia, kad anglų kalba parašytas knygas, skirtas matematikos filosofijai, istorijai, jos pagrindams ir mokymui, Lietuvoje įstengia skaityti tik profesionalai.

Bet ir mokomoji šios srities literatūra išseko. 2012 m. išleistame aukštosios matematikos vadovėlyje fizikas Algirdas Matulis rašo:

Vis dažniau man rašo laiškus mokiniai ir klausia, kaip jiems pradėti mokytis fizikos. Aš jiems atsakau, kad prieš pradedant mokytis fizikos būtų gerai išmokti aukštosios matematikos. Tada jie klausia, kokias reikia skaityti knygas, kad išmoktų matematikos. Čia aš jiems niekuo negaliu padėti. Visos knygos apie matematiką, kurios man patinka, parašytos arba rusiškai, arba angliškai. O jie dažniausiai rusų kalbą moka labai silpnai arba visai nemoka. O angliškos knygos labai brangios. Todėl nieko kito man nebeliko, kaip tik pačiam parašyti knygą apie aukštąją matematiką, o tiksliau apie matematiką, kurią išmokęs mokinys galėtų pradėti mokytis fizikos.“28

Knyga skiriama mokiniams ir studentams, ketinantiems rinktis mokslininko kelią. Atrodytų, puiku, galbūt fizikai geriau už matematikus žino, kokios matematikos reikia šių dienų fizikui teoretikui. Deja, pavarčius knygą, tenka nusivilti. Jos turinys ir aiškinimo stilius toks pats, koks buvo prieš šimtą ir daugiau metų matematikos knygose, skirtose inžinieriams, ir tokio pat senumo mokykliniuose matematikos vadovėliuose.

Svarbiausių sąvokų (riba, išvestinė, integralas ir t. t.) Matulis neapibrėžia, beje, tai įprasta ir šiandieninei mokyklai. Pavyzdžiui, funkcijos ribą jis aiškina piešiniu ir intuityviu kalbėjimu apie indeksų „ėjimą į begalybę“, atitinkamų „taškų artėjimą“. Geometrinį funkcijos išvestinės aiškinimą papildo tradicinėmis nuorodomis į „nykstamai mažus“ prieauglius ir į Lewiso Carrollo knygą „Alisa stebuklų šalyje“. Šiuos aiškinimus paįvairina ironija, pašiepianti matematikų samprotavimų loginį tikslumą. Pasakojimų turinys apibūdinamas taip: „Aukštosios matematikos sritis, kurioje rašomos formulės, vadinama matematine analize, o įvairių geometrinių objektų vaizdavimas formulėmis – analizine geometrija.“ Šis apibūdinimas panašus į tokį: meno sritis, kurioje rašomos natos, vadinama muzika. Vadovėlio autorius rekomenduoja skaitytojams imtis kitos jo knygos, skirtos matematikai, ir užtikrina: „Išsprendę visus ten pateiktus uždavinius, jūs iš tikrųjų tapsite kvalifikuotu fiziku teoretiku.“ Manau, vertėtų būti nuosekliam ir šį teiginį taip pat suprasti kaip ironiją.

Matulio „Pasakojimai apie aukštąją matematiką“ įtvirtina tradicinį, iš kartos į kartą perduodamą požiūrį: matematika yra pasaulio pažinimo instrumentas, kurio esmė – skaičiavimo procedūros ir technika, įsisavinama, išsprendus pakankamą kiekį uždavinių. Abstraktūs šiuolaikinės matematikos objektai ir struktūros nepripažįstami. Bet kartais, norint neatsilikti nuo mados, tenka pacituoti ir šiuolaikinės matematikos rezultatus. Tokiais atvejais matematikos teiginiai interpretuojami savo nuožiūra, teoremos taikomos ne matematikos objektams arba nekreipiama dėmesio į jų prielaidas. Antai Juozas Krikštopaitis veikale apie gamtos pažinimą Kurto Gödelio teoremas irgi aiškina savaip:

Matematinės logikos autoritetas Giodelis, paskelbęs ketvirtojo XX a. dešimtmečio pradžioje dvi nepakankamumo (neišbaigtumo) teoremas, inicijavo įspūdingą poveikį elitinei mokslininkų ir filosofų grupei. Teoremos paskelbė: a) tuomet, kai tiriama sistema yra neprieštaringa (nuosekli, logiška), ji yra neišbaigta; b) neprieštaringumo aksiomų negalima įrodyti neperžengiant formalios sistemos. Pats Giodelis, supratęs, kad jo analizės, siekiančios išsiaiškinti matematikos pagrįstumą, rezultatai atveria didesnes interpretacijų galimybes, tęsė teoremų taikomumo tyrimus. Ir tikrai, jis ir ypač kiti mokslininkai atskleidė Giodelio teiginių universalumą, jų įtaką naujam teorinio mąstymo posūkiui. […] Kaip jau minėta, Giodelis įrodė, kad neįmanoma teoriškai sukurti absoliučiai pagrįstos sistemos (teorijos), neturinčios bent menkiausio prieštaravimo.29

Cituojami teiginiai yra dalis Krikštopaičio pamąstymų apie mokslo pagrindus, o visas knygos turinys atspindi jos autoriaus paskaitų, 1991–2008 m. skaitytų Lietuvos universitetų magistrantams ir doktorantams, medžiagą. Šis ir kiti pavyzdžiai verčia permąstyti Lietuvos matematinio švietimo sistemą ir turinį.

Ar visuomenė pripažins matematiką kultūros reiškiniu, priklausys nuo bendrajam ugdymui keliamų tikslų. Kokie šie tikslai yra dabar ir kokie jie buvo praeityje? 1928 m. vykusioje pirmojoje matematikos ir fizikos mokytojų konferencijoje matematinio ugdymo tikslus apibūdino matematikas Zigmas Žemaitis (1884–1969). Jis rašė:

Kalbant arba rašant [apie matematikos programą aukštesniosiose mokyklose], priderėtų pirmiausia plačiau nušviesti, panagrinėti ir pakritikuoti arba pamatuoti tos vedamosios idėjos, tie tikslai, kuriais matematika įdėta į aukštesniųjų mokyklų mokomuosius planus. Reikėtų susitarti, ar statytinas pirmon vieton grynai formalinis tikslas – mokinių proto pajėgų ugdymas ir miklinimas, ar daugiau yra siektini materialiniai, utilitariniai tikslai – matematikos pritaikymai kitiems mokslams ir gyvenimui.

[...] Pedagoginėje literatūroje ir gyvenime pedagogai ilgai ginčijosi dėl matematikos dėstymo tikslų. Šie ginčai ėjo drauge su bendresniais ginčais tarp formališkai humanistiškojo ir reališkai matematiškojo auklėjimo šalininkų. Nuomonių skirtumai neišnyko iki šio laiko, tačiau matematikos atžvilgiu vis dėlto prieita maždaug ligi bendros nuomonės, būtent tos, kad matematikos dėstymas aukštesniojoje mokykloje turi siekti abiejų pagrindinių tikslų, formalinio ir materialinio. Vadinasi, matematikos dėstymas turi: a) padėti mokinio proto pajėgoms augti, t. y. pratinti mokinius sudaryti aiškias sąvokas, tiksliai reikšti jas žodžiais, daryti iš jų nuosakias išvadas, mokėti jas kontroliuoti, ir b) pratinti mokinį teisingai, gerai suprasti ir matematiškai formuluoti kitų tiksliųjų mokslų aiškinamus dalykus ir padėti mokiniui spręsti praktinius, realinio gyvenimo klausimus, kiek jie yra reikalingi matematinių žinių.“30

Dabartinė matematikos bendrojo ugdymo programa kelia sau tikslą „sudaryti galimybę mokiniams plėtoti matematinę kompetenciją, t. y. gebėjimus ir nuostatas, pažinti pasaulį, aprašyti jį matematiniais modeliais, taikyti matematinius metodus sprendžiant praktines ir teorines įvairių mokslo sričių problemas“. Šis tikslas, grindžiamas požiūriu į matematiką kaip pasaulio pažinimo instrumentą, radikaliai skiriasi nuo tikslų, kuriuos aptarėme šioje apžvalgoje, be to, neskatina ugdyti diverguojančio mąstymo, nes mokiniai negauna tam reikiamų priemonių. Diverguojantis mąstymas reikalauja kūrybiškumo. Reikia gerokai praplėsti sprendžiamų matematikos užduočių lauką, remiantis sąvokiniu ir abstrakčiuoju mąstymu.

Nuo tų laikų, kai Žemaitis suformulavo matematinio ugdymo tikslus, praėjo beveik šimtas metų, taigi sąlygos smarkiai pasikeitė. Pagrindinius dabarties bruožus lemia tai, kad visuomenės kaita spartėja, o mūsų gebėjimai vis greičiau sensta. Tokiomis aplinkybėmis matematinis mąstymas tampa didžiule vertybe, nes padeda spręsti tas problemas, kurios ne tik neturi sprendimo metodų, bet ir nėra aiškiai artikuliuotos. Tokiam mąstymui ugdyti nepakanka vien įsisavinti matematikos procedūras ir taisykles, reikia dar ir suvokti matematikos sąvokas, jų ryšius. Todėl tarpukariu numatyti ugdymo tikslai šiandien tampa dar svarbesni.

Mokydami matematikos, turėtume ugdyti loginį samprotavimų tikslumą, gebėjimą taikyti matematiką, sprendžiant praktines ir kitų mokslų problemas, o kartu sudaryti šiuolaikinės matematikos bendrą vaizdą jos istorinės raidos kontekste.

Kad šie tikslai būtų įgyvendinti, kad į mokyklas grįžtų loginiu tikslumu grindžiamas samprotavimas, prieš gerą dešimtmetį išgyvendintas kaip „bereikalingas formalizmas“, reikės lankstumo, išminties ir politinės valios. Tik tada susidorosime su to „išgyvendinimo“ pasekmėmis, kurios lėmė, kad nebeturime priemonių, leidžiančių paaiškinti ir suprasti matematikos faktus ir procedūras. Matyt, susigriebta perlenkus lazdą, nes dabar kaip kompensacija siūloma 11–12 klasių mokiniams, turintiems akademinių polinkių, siekiantiems gilesnių matematikos žinių, mokytis logikos, tačiau tai tik pasirenkamasis modulis „Logikos įvadas“. Taigi „matematikos“ mokoma atskirai nuo logikos. Kaip jums patiktų barščiais vadinami burokėliai, pateikiami be druskos ir vandens, šiuos pasiūlant baigiantis pietums? Taip diegiamas loginis neįgalumas.

Atsisakyta ir sustiprinto matematikos mokymo, skirto daliai pajėgių mokinių. Tuo pačiu keliu einama toliau ir dabar mokyklose jau agituojama atsisakyti „kalimo“, suprask, mokymosi atmintinai. Vietoj „kalimo“ tariamai ugdomas „kūrybiškumas“, ignoruojant faktą, kad dalis mąstymo procesų vyksta žmogaus pasąmonėje.

Kokių dar sukrėtimų turės patirti visuomenė, kad pagaliau būtų liautasi eksperimentuoti su žmonėmis, ugdant gražiai skambančias, bet žiniomis neparemtas, todėl primityvias kompetencijas?

Reikėtų peržiūrėti ir kai kurias įprastomis tapusias bendro pobūdžio nuostatas. Keista, kad mokiniams, dar nebaigusiems bendrojo lavinimo kurso, jau reikia apsispręsti, kokių dalykų jie toliau nebesimokys. Juk tenka rinktis tarp jiems nepažįstamų ir nesuprantamų alternatyvų. Esant dabartinei tvarkai, tie mokiniai, kurie mano turintys humanitarinį polinkį, tikėtina, atsisakys matematikos pamokų, vadinasi, toliau bus gilinama praraja, atsivėrusi lietuvių kultūroje.

Net jeigu Švietimo ir mokslo ministerija imtųsi remti siūlomus matematinio ugdymo tikslus, neaišku, kas galėtų įgyvendinti reikiamus pokyčius. Tam būtinos ne tik sutelktos matematikų pastangos, bet ir visos akademinės bendruomenės pritarimas bei palaikymas. Dar daugiau lemtų matematikos mokytojų ir visuomenės supratingumas.

Vis dėlto sunku tikėtis rimtų permainų šalyje, kurioje tiek švietimo ir mokslo, tiek kultūros ministras politiniu požiūriu turi mažiausią reikšmę ir įtaką. Šalis, įgyvendinanti daugiausia tik tas priemones, kurias finansuoja Europos Sąjunga, spręsti fundamentalių dvasinės kultūros problemų neturi nei laiko, nei resursų, nei noro. Matyt, svarbiausia mūsų problema – beviltiškai susilpnėjęs akademinės bendruomenės atsakomybės jausmas.

1    Viktorija Daujotytė. Formos ir formulės menų ir mokslų sankirtose. Kultūros barai, 2014, nr. 1.

2     Ten pat.

3     Ian Stewart. The third culture: The power and glory of mathematics. New Statesman, 21 May, 2013. Prieiga: http://www.newstatesman.com/sci-tech/2013/05/third-culture-power-and-glory-mathematics.

4     Almantas Samalavičius. Universiteto idėja ir akademinė industrija. Antras leidimas, Vilniaus pedagoginio universiteto leidykla, 2010.

5     Rimas Norvaiša. Matematika ir jos reikšmė Lietuvos mokslui bei kultūrai. Šiuolaikinis mokslas visuomenei. Lietuvos mokslo sektorių apžvalgos. II tomas, 2011. http://www.esparama.lt/es_parama_pletra/failai/ESFproduktai/2011_MFChM_apzvalga_II_tomas.pdf.

6     In an obituary by Freeman J. Dyson. Nature, March 10, 1956.

7     Arūnas Sverdiolas. Korys, migla ir rėtis. Dabartinės lietuvių kultūros erdvėlaikio ypatybės. Apie pamėklinę būtį. Baltos lankos, 2006, p. 104.

8     Alfred N. Whitehead. Mathematics as an Element in the History of Thought. Chapter II in his Science and the Modern World. 1925. In: Ed. J.R. Newman. The World of Mathematics. Simon and Schuster, New York, 1956, p. 402.

9     Raymond L. Wilder. Introduction to the foundations of mathematics. Antras leidimas. Dover Publ. 2012, p. 290.

10   Владимир Успенский, Математика – это гуманитарная наука. ТрВ № 146, c. 4-6, „Беседы“, 2014 sausio 28. Prieiga: http://trv-science.ru/2014/01/28/v-a-uspenskijj-matematika-ehto-gumanitarnaya-nauka/.

11   Владимир Успенский, Апология математики (2-ое издание), Санкт-Петербург, Торгово-издательский дом «Амфора», 2012.

12   Max Tegmark. Our Mathematical Universe: My Quest for the Ultimate Nature of Reality. New York, A. A. Knopf, 2014.

13   Raymond L. Wilder. The cultural basis of mathematics. Tarptautinio matematikos kongreso darbai, 1950. http://www.mathunion.org/ICM/ICM1950.1/Main/icm1950.1.0258.0271.ocr.pdf .

14   Oswald Spengler. Vom Sinn der Zahlen. Knygoje: Der Untergang des Abendlandes. 1918. Vertimas į anglų kalbą: Meaning of Numbers. Rinkinyje J. R. Newman. The World of Mathematics. Vol. 4, 1956, 2315-2347.

15   Leslie A. White. The Locus of Mathematical Reality: An Anthropological Footnote. Rinkinyje J. R. Newman. The World of Mathematics. Vol. 4, 1956, 2348-2364.

16   Raymond L. Wilder. Mathematics as a Cultural System. Pergamon Press, 1981.

17   Zygmunt Janiszewski. O Potrzebach Matematyki w Polsce. Nauka Polska, 1918.

18   Roman Duda. On the Warsaw Interactions of Logic and Mathematics in the Years 1919–1939. Annals of Pure and Applied Logic, vol. 127, 2004,

19   Barry Smith. Why Polish philosophy does not exist. In: J. J. Jadacki, and J. Pasniczek (eds.) The Lvov-Warsaw School: The New Generation (Poznan, Studies in the Philosophy of the Sciences and the Humanities, vol. 89), 2006, p. 19-39.

20   Christer Kiselman. The cultural significance of mathematics. Engl. Translation from an article in Swedish, which appeared in Annales Academia Regia Scientiarum Upsalienises 1995–1996, 31, 1997, p. 41–50.

21   David H. Bailey and Jonathan M. Borwein. Why mathematics Is Beautiful and Why It Matters. The Huffington Post. Science. February 18, 2014.

22   Edward Rothstein. Emblems of Mind. The Inner Life of Music and Mathematics. The University of Chicago Press, 2006.

23   Nathalie Sinclair. Mathematics and Beauty: Aesthetic Approaches to Teaching Children. Teachers College Press, 2006.

24   S. Zeki et all. The experience of mathematical beauty and its neural correlates. Frontiers in Human Neuroscience, Feb. 13, 2014. http://journal.frontiersin.org/Journal/10.3389/fnhum.2014.00068/full.

25   Viktorija Daujotytė, op. cit., p. 29.

26   Jonas Kubilius. Kaip mokslų akademijoje atsirado matematika. Matematika Lietuvoje po 1945 metų. MII, 2006.

27   Arūnas Sverdiolas, op. cit.

28   Algirdas Matulis. Pasakojimai apie aukštąją matematiką, Vilnius, Knygų kelias, 2012.

29   Juozas Al. Krikštopaitis. Išmintis, atsiverianti pažinimo kelyje, Vilnius, Mintis, 2013.

30   Zigmas Žemaitis. Matematikos programa aukštesniosiose mokyklose. Pirmosios matematikos ir fizikos mokytojų konferencijos darbai (1928 m. sausio mėn. 3–5 d.). Akc. „Ryto“ b-vė Klaipėdoje,1928.